공돌이가 되고픈 미생

회로이론의 두번째 가정은 집중정수계를 가정한다.

실제, 우리가 실생활에서 접하는 상황은 분포정수계이다.

하지만 기초를 배우는 회로이론에 있어서 바로 분포정수계를 이용해 학습하면, 학습하는데 있어 큰 산을 넘어야 한다.

그래서 회로이론은 집중정수계를 가정한다.

따라서, 전파효과가 매우 작거나 무시가 된다.

그럼, 어떻게 집중정수계와 분포정수계를 구분할 수 있을까?

집중정수계(lumped parameter system)

집중정수계와 분포정수계를 이해하는 방법은 강체(rigid body)와 순두부를 떠올려 비교하면 된다.

강체는 하나의 질점으로 표현이 가능하며 물체의 두 점의 상대적인 위치가 변하지 않는다.

따라서, 강체를 계산할 때에는 하나의 질점만 계산하면 되지만 순두부는 각 질점 하나하나를 계산해서 더해야하는 느낌이다.

우리는 공학생이다. 그럼 어떻게 수치적으로 집중정수계인 것을 알 수 있을까?

어떤 물체를 F라는 힘으로 쳤을 때, 상대편으로 도달하는 시간을 통해 집중정수계인지 알 수 있다.

도달하는 지연시간을 Δt 라고할 때, 이는 Δt=l/v (거리=시간 × 속도 이니까) 로 표현할 수 있다.

이때, 입력하는 힘 대신 한주기 T의 sine 파의 전원을 입력을 가정했을 때, Δt/T << 1 이면 집중정수계이다.

그럼 속도는 어떻게 측정할 수 있을까? 강체의 속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

v: 신호의 전달속도, E:탄성률(yong's modulus, 이 값이 클 수록 단단한 물질),  ρ : 밀도

그래서 나중에 우리가 실험실에서 사용하는 전원 주파수는 kHz로 실험하는 이유다.

1)만약, MHz면 주기가 급격히 짧아지기 때문에 지연시간 Δt/T << 1 가 만족되지 않으면서 집중정수계가 아니기 때문에 이론적으로 학습한 것과 다른 값이 측정될 수 있다.

2) 혹은 system 크기가 작아지면,  Δt=l/v   식에서 l이 급격하게 작아지게 되면서 Δt 가 작아진다. 그래서, Δt/T << 1 가 만족되지 않으면서 집중정수계가 아니다.

회로이론은 집중정수계 시스템을 가정하고 학습하는 것을 잊지 말자.

회로이론은 몇가지 가정을 통해 회로 해석(analysis)하는 것을 목적으로

회로 설계(design)에 대한 능력을 함양하기 위해서 공부한다.

따라서, 회로이론은 몇가지 가정을 통해 회로를 단순화한다.

그 중 첫번째는 선형 시스템만 가정해 공부한다.

일반적으로 선형시스템(linear system)을 가정하는 이유는 수학적으로 해석하기가 쉽기 때문이다.

선형시스템(linear system)

선형시스템은 2가지 조건이 만족될 때 선형시스템이라 부를 수 있다.

1) 정수배

: a -> i 일 때, ka -> ki 를 만족한다.

2) 중첩(superposition)

: i1->v1, i2->v2 일 때, => i1+i2 -> v1+v2

각각의 예를 들어서 학습해보자.

정수배 예)

가령, 6 V 전원에 1 kΩ 저항이 연결되어 있다고 가정해보자.

그렇다면, 이 회로의 전류는 6 mA가 흐른다.

그럼 12 V 전원에 6 mA가 흐르려면 저항이 얼마나 커야할까?

V=I × R 이므로, I가 동일하다면 2V=I × 2R 이 만족한다.

따라서, R=2 kΩ 이 되는 것이다.

이 때,  V가 2배가 되었을 때, R이 2배이다. 

즉, k배 했을 때 동일한 값을 얻을 수 있는 이러한 것이 정수배가 가능한 것을 의미한다.

중첩 예)

위의 회로가 있다고 가정해보자. 

그럼 저항에 흐르는 전류는 얼마일까?

왼쪽 회로에 흐르는 전류를 i1, 오른쪽에 흐르는 전류를 i2 라고 가정해보자. 그럼 식 2개를 세울 수 있다.

(i1-i2) × 1k = 6 V     (식1)

i2 = - 2 A                  (식2)

따라서, i1= 6mA - 2 A = -1.994 mA

그럼 중첩의 정리를 이용해서 계산해보자.

우선, 오른쪽의 전원이 0이라고 가정해보자.

전류원이 0 A 라는 의미는 회로적으로는 open 즉 회로가 끊어진 것이다.

따라서, 저항에 흐르는 전류는 6 m A 이다.

이번엔 반대로 왼쪽 전원이 0이라고 가정해보자.

전압원이 0 V 라는 의미는 회로적으로 short 즉 회로가 연결된 것이다.

따라서, 2 A 전류는 저항에 흐르지 않고 모두 왼쪽으로 흐르는 것을 알 수 있다.

종합하면, Va 라는 node (마디)  의 왼쪽에서 흐르는 전류는

왼쪽으로 2 A, 오른쪽으 6 mA가 흐르기 때문에 더하면 왼쪽으로 1.994 mA가 흐르는 것을 알 수 있다.

이 결과는 처음 i1, i2 라는 전류가 흐른다는 것을 가정해 푼 결과와 같다.

i1 = - 1.994 mA (i1이 오른쪽으로 흐른다고 가정했으므로, - 부호의 의미는 반대로 흐른다는 의미이다.)

수학적으로 i1->v1, i2->v2 일 때, => i1+i2 -> v1+v2 로 푼 결과와 같은 것을 알 수 있다.

결론적으로, 회로이론을 해석할 때에는 해석하고자 하는 시스템이 선형 시스템임을 잊지 말자!!