공돌이가 되고픈 미생

회로이론은 새로 생성되거나 사라지는 알짜전하는 없다는 것을 가정한다.

이것은 우리가 흔히 알고 있는 키르히호프의 전류법칙(kirchhoff current law) 과 연결된다.

키르히호프 전류법칙

자속보존의 법칙

우리가 전자기학때 배웠던 자속 보존의 법칙을 떠올려보자.

위의 화살표는 벡터(vector) 라는 뜻이고, 가운데 점은 내적(inner product), 앞에 역삼각형 형태는 gradient를 의미한다.

gradient의 내적은 발산(divergence)이다.

따라서, 위의 수식은 자속 밀도 B(magnetic flux density)의 기울기 구배와 내적을 하면 0이라는 뜻이다. 

수학적으로 계산해보면, 벡터 내적 벡터는 스칼라 값이 나온다는 것을 알 수 있다.

아직도 무슨말인지 잘 모르겠다면, 적분형으로 바꾸어 생각해보자.

위의 수식에 부피적분을 취하면 아래의 수식처럼 표현될 수 있다.

발산정리를 통해 enclosed surface 형태로 변환할 수 있으며, 그 값이 오른쪽과 같다.

그럼, 오른쪽 수식의 의미는 무엇일까?

어떤 닫힌 폐곡선 면에 존재하는 자속 밀도를 적분해서 계산을 하면 0이라는 의미이다.

부호의 양(+)는 나가는 방향을 의미하므로, 여기서 키워드는 Net outward flux 이다.

즉, 바깥쪽으로 향하는 flux의 총량을 의미하며, 이 값이 0이라는 의미이다. 

 전하보존의 법칙

앞서 회로이론에서 가정한 것은 전하가 보존된다. 즉, 갑자기 전하가 생기거나 줄지 않는다는 것을 가정했다.

아래의 수식은 전하보존의 법칙의 식이다.

물리 현상을 이해하기 쉬운 것은 적분형으로 고쳐서 생각하는 것이다.

따라서, 위의 수식에서 각각을 적분시켜 생각하면 아래와 같다.

즉, 나가는 전류의 합이 부피내에 있는 전하가 사라진 것과 같다는 말이 된다.

아래 예제를 통해 생각해보자.

예제문제

위의 회로에서 각각 부품에 흐르는 전류를 키르히호프 전류 법칙을 이용해 구한다고 생각해보자.

그럼, node A 점에서 동그란 원형의 면적을 잡고, 위에서 학습한 키르히호프 전류 법칙에 의해 나가는 전류의 총합이 0이다.

그럼, 6V 쪽으로 흐르는 전류, 저항 2옴에 흐르는 전류, 저항 3옴에 흐르는 전류를 0이라고 하면 V=IR 이므로 아래와 같은 식을 세울 수 있다.

ia는 6V 쪽으로 흐르는 전류를 임의로 지정했고, Va는 node A의 전압을 의미한다.

이때, Va는 전원 6 V에 의해 6으로 설정되어 있으므로, 미지수가 1개인 식이 되어 쉽게 풀 수 있다.

따라서 ia= - 5 A 이다.

여기에서 음수는 전류의 방향이 반대라는 것을 의미하므로, 6 V에서 흐르는 전류는 위의 노란색에서 표시한 것(오른쪽->왼쪽)이 아닌 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르는 것을 알 수 있다.